RESUMEN DEL TEMA ARBOLES Y GRAFOS

ARBOLES Y GRAFOS

ÁRBOLES BINARIOS DE BÚSQUEDA

Empezaremos recordando lo que son los árboles. Un árbol es una colección de nodos que puede

estar vacía o no.

Si no está vacía, el árbol estará formado por un nodo raíz y cero o más subárboles que están

unidos a la raíz por otras tantas aristas.

Para que un árbol sea binario es requisito indispensable el que el número máximo de hijos que

tenga cada nodo sea 2. Por lo tanto el árbol anterior no es un árbol binario, ya que el nodo A tiene 3

hijos.

Por último, un árbol será de búsqueda si todos sus nodos cumplen las siguientes condiciones:

• Todos los nodos situados a su izquierda son menores que él.

• Todos los nodos situados a su derecha son mayores que él.

Resumiendo, se puede decir que un árbol binario de búsqueda es un árbol en el que cada nodo

tiene a lo sumo dos hijos, y en el que para cada nodo todos los nodos a su izquierda son menores que él

y todos los nodos a su derecha son mayores que él.

El siguiente árbol es un ejemplo de árbol de búsqueda:

En cambio este árbol viola la condición de orden en el nodo 2, ya que un nodo a su derecha, 1, no es

mayor que él.

Transformación de un árbol general en un árbol binario.

En esta sección estableceremos los mecanismos necesarios para convertir un árbol general en un árbol

binario. Para esto, debemos seguir los pasos que se describen a continuación:

1. Enlazar los hijos de cada nodo en forma horizontal (los hermanos).

2. Enlazar en forma vertical el nodo padre con el nodo hijo que se encuentra más a la izquierda. Además,

debe eliminarse el vínculo de ese padre con el resto de sus hijos.

3. Rotar el diagrama resultante aproximadamente 45 grados hacia la izquierda, y así se obtendrá el árbol

binario correspondiente.

OPERACIONES BÁSICAS EN ÁRBOLES BINARIOS DE BÚSQUEDA

Como en toda estructura de datos hay dos operaciones básicas, inserción y eliminación.

Inserción: El procedimiento de inserción en un árbol binario de búsqueda es muy sencillo, únicamente hay que

tener cuidado de no romper la estructura ni el orden del árbol.

Borrar: El borrado en árboles binarios de búsqueda es otra operación bastante sencilla excepto en un caso.

Vamos a ir estudiando los distintos casos.

Tras realizar la búsqueda del nodo a eliminar observamos que el nodo no tiene hijos. Este es el caso más

sencillo, únicamente habrá que borrar el elemento y ya habremos concluido la operación.

Otra operación importante en el árbol es el recorrido el mismo. El recorrido se puede realizar de tres

formas diferentes:

• Preorden: Primero el nodo raíz, luego el subárbol izquierdo y a continuación el subárbol derecho.

• In orden: Primero el subárbol izquierdo, luego la raíz y a continuación el subárbol derecho.

• Postorden: Primero el subárbol izquierdo, luego el subárbol derecho y a continuación la raíz.

ÁRBOLES ETIQUETADOS

A veces es necesario etiquetar los vértices o aristas de un dígrafo para indicar su uso para su propósito

específico.

Esto es particularmente cierto para muchos de los árboles es la ciencia de la computación.

Ahora se proporcionará un ejemplo donde el conjunto de los vértices no son importantes, sino que la

utilidad del árbol se enfatiza mediante las etiquetas sobre estos vértices.

Así, se representará los vértices como puntos y se mostrará la etiqueta de cada vértice junto al punto

que representa dicho vértice.

GRAFOS

La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas) estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.

La teoría de grafos es una rama de la matemáticas discretas y aplicadas, y es una disciplina que unifica diversas áreas como combinatoria, álgebra,probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología.

Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones.

El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río pregel (54°42′12″N 20°30′56″E) en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.

El termino «grafo», proviene de la expresión «graphic notation» usada por primera vez por Edward Frankland y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884, y hacia referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una molécula.

El primer libro sobre teoria de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.

Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.

Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.

Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.

La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes.

TIPOS DE GRAFOS

§  Grafo simple. o simplemente grafo es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.

§  Multigrafo. o pseudografo son grafos que aceptan más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos no-dirigido.

§  Grafo dirigido. Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por una flecha

§  Grafo etiquetado. Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.

§  Grafo aleatorio. Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.

§  Hipergrafo. Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.

§  Grafo infinito. Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.

REPRESENTACION DE GRAFOS

Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), ademas de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

Estructura de lista

§  lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.

§  lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

§  lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

Estructuras matriciales

§  Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)

§  Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño , donde  es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento  es 1, de lo contrario, es 0.

PROBLEMAS DE TEORIAS DE GRAFOS

Ciclos y caminos hamiltonianos

Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).

Se habla también de camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.

Grafos planos.

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.

Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?

Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.